一、导数的成见在线av 国产

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不管导数的神色怎么变化，分母恒久是自变量的增量，分子是对应的因变量的增量。（导数：增量之比取极限）

商酌导数界说的极限傍边趋近形态不同，不错获得单侧导数的成见：

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由此不错获得如下回归：

①求单点的导数平直用界说是最靠谱的；

②如若f(x)的导数存在，则不错平直先求导函数，再代入某点求得导数。

③导函数界说不错推导出基本初等函数的导数。

例题1

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例题2

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例题3

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二、常数和基本初等函数的导数

1、常数和基本初等函数导数列表

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以上导数公式不错通过导数界说、导数四则运算王法、反函数求导王法分歧求出，是管制一切初等函数求导的基础；同期亦然缱绻微分的基础。以至平直关系到积分的求解，是微积分中的最基本的本质。因此，为了使用便捷，不仅要习尚于从左向右牵挂（求导），更应该学会从右往左的牵挂。

2、导数的四则运算王法

设u和v是两个初等函数，那么它们的四则运算的导数公式为：

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其中，乘法公式不错执行到n个函数的乘积，导出后果共n项，每项一次只对一项求导下式以三界为例：

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例题：

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3、反函数求导王法

反函数的导数就是其平直函数导数的倒数。数学表述为：

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例题：

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三、复合函数求导王法

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复合函数求导王法：先把复合函数的复合形态找到，然后对这些函数分歧求导数，终末将这些导数沿路乘起来。该方法称为链式求导王法。

例题

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熟习之后，不错不必把复合形态写出来，只需要像如下形态写求解经过即可。

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例题

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四、隐函数的导数

1、隐函数求导王法

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虽然，也不错把方程中的y看作x的函数，期骗复合函数求导王法求导。

例题1：

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例题2：

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2、对数求导法

对数求导法适用于：幂指函数或连乘（除）的函数神色。

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例题

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五、参数方程详情的函数的导数

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例题

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六、变限积分求导王法

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例题1：

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例题2：

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例题3：求极限

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七、微分和泰勒公式估算访佛值

1、高阶导数

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关于两个函数乘法的n阶导数不错使用莱布尼茨公式：

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聚色阁

该公式的牵挂方法可类比于二项式定理来牵挂。

例题1：求二阶导数

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例题2：求二阶导数

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例题3：求n阶导数

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2、函数的微分

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微分的几何有趣有趣：函数在局部的线性访佛（切线代弧线），体现的是'以直代曲'。

缱绻微分的方法：对函数求导，并在导数背面乘上自变量的微分dx。即

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2、微分王法

常数和基本函数的导数公式与导数缱绻有相通性，不错仿照牵挂。

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微分的四则运算王法：

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复合函数的微分王法：

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其中，u=g(x)。可见，不管中间复合多复杂，微分心色皆保执不变，称为微分心色的不变性。

求解微分的方法：

①先对函数求导；

②在导数后果的终末乘以自变量微分dx，获得dy。

例题：求下列函数的微分

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例题2：补全微分

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例题3：微分值缱绻

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3、微分的的访佛缱绻

函数在某点不错使用该点处的切线段当作访佛：

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若导数和函数值均易缱绻，那么不错通过该公式进行访佛缱绻。商酌当x0=0时，咱们不错获得底下的访佛公式：

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例题:

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八、导数的基础应用

1、切线方程和法线方程

导数是弧线f(x)某点处切线的斜率，因此，不错很便捷地求出切线方程；而法线方程垂直于切线，垂直直线的斜率乘积为-1，因此也容易求出法线方程。这里需要持重，给定的点是否在弧线上，分下列两种情形来询查。

①点在弧线上

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例题

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②点不在弧线上

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例题

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2、关系变换率

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例题1：

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九、曲率

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例题1：

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例题2：

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例题3：

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十、函数单调性、荆棘性、极值、最值问题曲率

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通过上述定理和分析，不错获得函数极值、单调区间、荆棘性和拐点的要领：

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例题1 求函数的单调区间、荆棘性、极值和拐点：

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该函数的图像为：

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例题2：求函数在闭区间的最值

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该函数的图像为：

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例题3：应用题

要造一个圆柱形的油罐，体积一定时，底面直径和高骄傲什么比值时，使之名义积最小？

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例题4：不等式讲授

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十一、旯旮分析和弹性分析

11.1 旯旮分析

旯旮函数：函数的导函数称为旯旮函数。常见的旯旮函数有：

旯旮本钱：总本钱函数的导函数称为旯旮本钱，记作MC：

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经济有趣有趣为：当产量为Q时，加多单元产量时，总本钱的变化量。

旯旮收益：总收益函数的导函数称为旯旮收益，记作MR：

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经济有趣有趣为：当销量为Q时，多销售1个单元的产物时，加多的总收益。

旯旮利润：利润函数的导函数称为旯旮利润，记作ML：

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经济有趣有趣为：当销售量达到Q时，再加多一个单元产物的销售带来的总利润变化量。

例题1

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11.2 弹性分析

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弹性函数的经济有趣有趣：自变量在x处的相对增长量为

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时，因变量y的相对增长量为

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。

例题2：

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十二、方程的访佛解

方程访佛解有三个常用算法：二分法、牛顿法、割线法（矫正牛顿法）。底下分歧先容三种方法的要领、算例、Python完毕以及开动后果。

二分法

表面基础：零点定理和区间套定理。

二分法要领：

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算例：

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Python设施：

def f(x): return x ** 3 + 1.1 * x ** 2 + 0.9 * x - 1.4def dichotomy(a， b， eps， f): if f(a) * f (b) > 0: print('区间[{}， {}]可能莫得根！'.format(a， b)) return None else: if f(a) >0: a， b = b， a while abs(a - b) > eps: c = (a + b) / 2 if f(c) == 0: return c elif f(c) < 0: a = c else: b = c return cif __name__ == '__main__': print('方程的解为：'， dichotomy(0， 1， 1.0E-16， f))

开动后果：

方程的解为：0.6706573107258097

牛顿法（切线法）

表面基础：介值定理、精致性定理（单调有界旨趣）、二阶泰勒张开。

牛顿法要领：

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算例：

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Python设施：

def f(x): return x ** 3 + 1.1 * x ** 2 + 0.9 * x - 1.4def f_diff(x): return 3 * x ** 2 + 2.2 * x + 0.9def Newton(x0， eps， f， f_diff): x1 = x0 - f(x0)/f_diff(x0) while abs(x1 - x0) > eps: x0 = x1 x1 = x0 - f(x0)/f_diff(x0) return x1if __name__ == '__main__': print('方程的解为：'， Newton(1， 1.0E-16， f， f_diff))

开动后果：

方程的解为： 0.6706573107258097

矫正牛顿法（割线法）

切线法中需要缱绻导数，关联词导数求解对某些函数尽头逶迤，于是不错使用如下访佛来矫正牛顿法：

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表面基础：介值定理、精致性定理（单调有界旨趣）、二阶泰勒张开。

割线法要领：

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算例：

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Python设施：

def f(x): return x ** 3 + 1.1 * x ** 2 + 0.9 * x - 1.4def Secant (x0， x1， eps， f): while abs(x1 - x0) > eps: f_diff = (f(x1) - f(x0)) / (x1 - x0) x2 = x1 - f(x1)/f_diff x0， x1 = x1， x2 return x1if __name__ == '__main__': print('方程的解为：'， Secant(1， 0.8， 1.0E-16， f))

开动后果：

方程的解为：0.6706573107258097

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